进入中学后,数系扩展为有理数。随着负数的引入,相反数和绝对值进入教科书也就顺理成章了。绝对值是中学数学中的重要概念,也是七年级的学习难点之一。先说绝对值的定义和化简,以及相关例题的精确求解。
开场故事:一场激烈的辩论
数学在小学处理具体数字,进入中学后开始接触字母而不是数字。这不仅增加了一层抽象,也让一些同学感到不舒服。
一年级14班的小李同学问小王:“是-A阴性吗?”
小王回答:“因为a前面有个-号,所以是负数。”
旁边的小张说:“不一定是负数,因为字母A可以是任何数字。如果A为负,那么-A为正,所以-A为负或正。”
小杨在另一边附和道。他说,“如果A是零呢?”
大家“啊!”随着一声大叫,小李激动起来,大声说:“什么数字——A?”怎么回答?“每个人都在谈论它。
班上的数学课代表周晓站了起来。他慢吞吞地说:“其实,什么数字是——A?我们已经就此进行了辩论。只是如何准确表达的问题。”
如果用书面语言回答,应该是:
当a为正时,-a为负;
当a为负时,-a为正;
当a为0时,-a为0。
如果用数学符号语言表达,那就是:
当a >: 0时,-a
当a<>: 0时;
当a=0时,-a = 0。
周晓的总结非常正确。周晓在这里使用了“穷举方法”。所谓穷尽法,就是在讨论一个问题的时候,把所有可能的情况都一一列出来,一个不重要,一个不遗漏,然后把每种情况都一一分析,去掉不合格的,留下合格的,最后得出结论。这是一种重要的数学思维方法——分类讨论的思维方法。这种思维方法贯穿于初中、高中、大学学习,希望同学们能够引起足够的重视。
绝对值的定义
一次数学***,试卷上有一道题空:如果| a | =-a,那么a _ _ _ 0。
小李填了”
图1
图二
这是绝对值的定义,写得很清楚,a
A | =-A,我怎么会错呢?
陈老师说:这两个公式是对的,是绝对值的定义。绝对值写成|a|。这个公式,也就是|a|的表达式,符合“无重不漏”的原则,但在使用中容易出错。
从| A | =-A,应该得出a≤0,因为a=0也满足条件。如果只有A<>: 0。
但是,如果绝对值是这样定义的:
图3
又无理取闹了!为什么不合理?因为a=0重复了两次!违反了“无重量,无泄漏”的原则。
总结:老师的改正没有错。我们要从小李的错误答案中吸取教训,认真、仔细、全面地考虑问题。
让我们重温一下绝对值的定义。
图1和图2是三分支和两分支的代数定义。
也请理解:
如果|a|=a,那么a≥0,
如果| a | =-a,则a≤0。
用书面语言定义:
正数的绝对值就是它本身;负数的绝对值是它的倒数;0的绝对值是0。
绝对值的几何定义:数轴上点到一个数的原点的距离称为该数的绝对值。
绝对值的上述定义包含以下重要结论:
(1)任何有理数的绝对值都是非负的,即
a |≥0;
(2)两个绝对值相等的数,它们要么相等,要么相反,即|a|=|b|,则a=b或a =-b;
(3)一个数的绝对值是它本身,且该数必须是非负的,即如果|a|=a,则a≥0;
一个数的绝对值是它的相反数,这个相反数必须是非正数,即如果| a | =-a,那么a≤0。
(4)绝对值为0的数,只有0本身。也就是说,如果|a|=0,那么a=0。
这些结论在解决与绝对值有关的问题时非常有用。
绝对值简化
其实上面说的绝对值的概念和定义已经包含了绝对值化简的方法。
在去除绝对值符号时,我们需要判断符号是否改变。例如:
a-b|=a-b,(a-b)≥0;
a-b|=-(a-b)=b-a,(a-b)<0.
当绝对值中有字母时,必须分类讨论。非负性是绝对值的一个重要性质,所以在去掉绝对值符号时,需要保证每一个绝对值都不是负的。请看下面的例子:
计算| 1-a |+| 2a+1 |+a |(其中a
∫| 1-a | = 1-a >0;
2a+1|=-(2a+1)>0;
a | =-a >0.
∴原始公式= 1-A-2A-1-A
=-4a。
换个标题,去掉一个<-2的限制,你还会做吗?
-2>虽然题目变得复杂了,但只要牢记绝对值的非负性,就能正确完成。解题思路是先分类讨论,再综合在一起得出答案。
具体的解决方法是先求A的使绝对值等于0的值,也就是求零点。几个零点把数轴分成几段,然后分类讨论。这就是零点分割法。最后把它们结合起来写答案。
这个问题有三个零。它们是-1/2,0,1。
当a<>
=1-a-2a-1-a=-4a
当-1/2 ≤ a时
=2;
当0 ≤ a<>
= 2a+2;
当a≥1时,原公式= A-1+2A+1+A
=4a。
∴
利用标题设计中的隐含条件。
例1已知:| x-2 |+x-2 = 0。求:x+2的最大值。
因为| x-2 |+x-2 = 0,| x-2 | =-(x-2),根据绝对值的概念,当一个数的绝对值等于其倒数时,该数为负或零,所以x-2 ≤ 0,即x-2≤0 ^ 2,这意味着x的最大值为2,所以x+2
利用数轴获取信息。
2有理数A、B、C在数轴上的位置如图1所示。简化公式| A |+| B |+| A+B |+| B-C |。
图1
观察数轴知道a;| b | >;|a|,则a+b >: 0,b-c <0,所以
原公式=-a+b+a+b-b+c = b+c
最后的谜题
遇到难题时惊慌失措
3简化||| x-1 |-2 |+| x+1
这道题有点难,有些同学根本不会做。
有句话叫“努力的人不会,能做到的人不会努力”。
明代数学家程大伟说:“难人也难。然而,看似困难,却是事实。......,问题只靠立法。立法明确了,就克服了。为什么这么难?”
找到解决问题的方法并不难。
题目中有三个绝对值。先确定零值,再用零分段法分类讨论。双层绝对值将逐步去除绝对值符号。
题目中有三个零,分别是-1,1,3。这三点把数轴分成四段,分段讨论。
解决方案:
(1)当x
原始公式= | 1-x-2 |-x-1
=|-X-1|-X-1
=-X-1-X-1
=-2X-2
(2)当1 >: X ≥-1时,
原始公式=|1-X-2|+X+1
=|-X-1|+X+1
=X+1+X+1
=2X+2
(3)当3 >: X≥1时,
原始公式=|X-1-2|+X+1
=|X-3|+X+1
=3-X+X+1
=4
④当X≥3时,
原始公式=|X-1-2|+X+1
=|X-3|+X+1
=X-3+X+1
=2X-2
综上所述,绝对值在初中数学中的地位举足轻重,贯穿于初中代数和几何的各个角落。绝对值是重要的数学基础知识,它包含着丰富的数学思想和方法,如数形结合、化归与分类讨论等。,应该引起足够的重视。
附录:绝对值相关学习材料
下次再说绝对值的几何意义,敬请期待。
科学尚未普及,媒体仍需努力。感谢阅读,再见。
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