看到有朋友问，矩阵的秩是什么？做了这么多题，还没系统总结矩阵的秩。今天我就结合实际例子来回答什么是矩阵的秩。

矩阵的秩

线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列的最大个数。

这是矩阵的秩的定义，但似乎很难理解。所以我打算从各种矩阵的角度来回答这个问题。

我们知道，一般的矩阵是mxn型，另一种是方阵。方阵是一种特殊的矩阵，指行数和列数相同的矩阵。对于这两个矩阵，矩阵的秩也有很大的不同。

对于方阵(行数和列数相等)的矩阵A，矩阵的秩用R(A)表示。

对于mxn的矩阵A，矩阵的秩有很多种情况，其中最大的是M和n的较小值，我们把秩最大的矩阵称为可能满秩，不满足的称为秩不足。

当然这些都是定义，但是还是要举实际例子来说明什么是矩阵的秩。

我们通常是怎么计算矩阵的秩的？

通俗的说就是计数，一个矩阵中非零行的个数。

矩阵的秩其中有一个定理，这个定理需要大家进行记忆，初等变换不改变矩阵的秩，根据这个定理，我们在计算矩阵的秩的时候就用矩阵的初等行变换将矩阵变成行阶梯矩阵，而行阶梯矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩。

矩阵的秩有一个定理。这个定理需要背。初等变换不改变矩阵的秩。根据这个定理，我们在计算矩阵的秩时，利用初等行变换把矩阵变成行阶梯矩阵，一个行阶梯矩阵中非零行的个数就是矩阵的秩。

图1

那么，在对矩阵的秩有了初步的了解之后，我们再来研究相应的例子。

在学习例题之前，有几个关于矩阵秩的定理需要记忆。

1.在矩阵的初等变换之后，矩阵的秩不变。这是我在前面的例子中也提到的一点。

2.矩阵的行秩、列秩和秩都是相等的，也就是说只要找到其中的一个，就可以知道其他的条件。

3.若矩阵A可逆，则矩阵A与其逆矩阵B相乘得到的矩阵与逆矩阵B的秩相同，反之，为R(AB)=R(B)。

4.假设有两个矩阵M和N，由于矩阵相乘得到的新矩阵的行和列在矩阵M和N的行和列的范围内，所以相乘得到的新矩阵的秩小于等于矩阵M和N的最小值，为R (AB)<>。

5.假设有一个矩阵K，它的列秩等于列n，由于定理2，我们可以得到列秩和秩都是n。

实际例子

在知道这些定理之后，我们此时做实际的例题就会感觉到简单一些。

知道了这些定理之后，这个时候我们做实际的例题就比较容易了。

图二

如图，举个例子。我们先来考察一下这个问题。矩阵A是3 ×矩阵b是3 ×2的矩阵(3行2列)

我们在这里求方程AX=B的解。

在找到这个方程的解之前，我想提一下AX=B这样的方程是什么。

这类形状为AX=B的方程是指非齐次线性方程组，即常数项不全为零的线性方程组。

看这个问题给的提示，系数矩阵，增广矩阵，阶梯矩阵。

1.系数矩阵:方程式的系数矩阵。

2.增广矩阵:在系数矩阵右边增加一列，是线性方程组等号右边的值。

3.梯形矩阵:如果有零行(所有零元素的行)，它应该放在底部，像梯子一样排列，就像我在上一篇文章中提到的那样。

答案分析

那么，对于这个问题，就要用这些概念来解决。

在判断方程AX=B的解时，需要判断矩阵的秩。

我们先将该方程化为增广矩阵，也就是(A|B)。

首先，我们将方程转化为增广矩阵，即(A|B)。

图3

然后，给出了矩阵的秩与非齐次线性方程组的解之间的关系。

也可以理解为系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系。

也可以理解为系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之间的关系。

图4

有了这些概念之后，我们就可以彻底解决这个问题了。

也就是分析系数矩阵的秩和增广矩阵的秩。

即分析系数矩阵的秩和增广矩阵的秩。

图5

这是这个问题的完整步骤过程。至于为什么AX=B是非齐次线性方程组，是为了求解x的每一列的值，也就是以方程组的形式求解。

做一个最终结论，对于这类题目来说比较麻烦复杂。我们要做的就是非常明确概念。矩阵的秩、增广矩阵、系数矩阵、阶梯矩阵、非齐次线性方程组，一个地方不仔细就容易出错。

还有一点要明确，增广矩阵的秩和系数矩阵的秩之间的关系会影响非齐次线性方程组AX = B的求解，当我们判断各种情况时，可以重新求解。当我们求解它们时，我们可以进行一一对应，只需找出列的值。慢慢来，别着急！